Historisches Wörterbuch der Philosophie online 

2. Die systematische Untersuchung der verschiedenen B.-Arten gehört zur Logik und Methodologie; sie hat ihr traditionelles Kernstück in den deduktiven B. (auch Deduktionen), bei denen aus bereits anerkannten Sätzen (Hypothesen oder Prämissen) allein durch logisches Schließen (logische Folgerung) der zu beweisende Satz (These oder Konklusion) gewonnen wird. Dem Spezialfall des deduktiven Beweises eines singulären Satzes P(n) aus dem zugehörigen, schon als gültig erkannten generellen Satz P(x) (das ist der logische Schluß ‹dictum de omni› [2]) steht gegenüber der induktive B. eines generellen Satzes P(x) aus seinen Instanzen P(n) (das ist kein logischer Schluß, weil im allgemeinen unendlich viele Prämissen vorkommen). In der traditionellen Logik [3] werden die Instanzen in diesem Zusammenhang gewöhnlich durch Spezialisierungen S (species) des Gegenstandsbereichs M (genus) charakterisiert. Der deduktive (= progressive, vom Allgemeinen zum Besonderen fühführende) B. liefert daher S(x)P(x) aus M(x)P(x) (das ist das ‹dictum de omni› in der Form des syllogistischen Modus ‹barbara›: SaM; MaP ≺ SaP, d.h. ‹alle S sind M› und ‹alle M sind P› impliziert ‹alle S sind P›), und der induktive (= regressive, vom Besonderen zum Allgemeinen führende) B. liefert M(x)P(x) aus einer Gesamtheit von Prämissen Sv(x)P(x) (v = 1, 2, ...), für die Sv(x)M(x) und M(x) vSv(x) gilt, d.h. für die es eine vollständige Zerlegung (Division) des Bereichs M in Teilbereiche Sv gibt. An diese Stelle gehört auch der oft unkorrekt verwende. Analogie-B.: Verhalten sich zwei Arten S1 und S2 einer Gattung M analog, d.h. gibt es eine Eigenschaft Q mit S1aQ und S2aQ (tertium comparationis), so läßt sich von S1aP per analogiam auf S2aP schließen, falls QaP gilt; ist S2 das Komplement von S1 in M, so gelingt auf diese Weise ein B. von MaP.

Die Zuverlässigkeit induktiver B. hängt nicht mehr bloß von der Theorie des logischen Schließens (= formaler Logik) ab, sondern setzt eine Theorie des Gegenstandsbereichs voraus, über den generalisiert wird. Je nachdem, ob die Prämissen den Bereich der Instanzen vollständig erfassen oder nicht, spricht man von einem B. durch vollständige Induktion (z.B. in der Arithmetik ein Beweis von N(x)P(x) aufgrundder beiden Prämissen P(1) und N(x)(P(x) → P(x+1)), d.h. eine Aussage P(n) gilt für alle natürlichen Zahlen n, wenn sie (a) für n = 1 bewiesen ist und sich (b) aus der Annahme der Aussage für irgendeine Zahl m die Aussage für die nächstfolgende Zahl m+1 beweisen läßt) oder einem – in seiner Zuverlässigkeit beschränkten und mit den wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden der ‹induktiven Logik› [3a] zu behandelnden – B. durch unvollständige Induktion (z.B. in den empirischen Wissenschaften bei der Aufstellung genereller Hypothesen aufgrundendlich vieler geeigneter singulärer Tatsachen; die empirische Überprüfung der logischen Folgerungen solcher durch unvollständige Induktion gewonnenen Hypothesen gehört daher mit zum grundsätzlich nicht endgültig zu führenden B. dieser Hypothesen).

3. In axiomatischen Theorien (= deduktiven Systemen), z.B. der Geometrie, werden die (Lehr)Sätze (= Theoreme) dadurch bewiesen, daß sie aus ersten (Grund)Sätzen (= Axiomen) logisch gefolgert werden: Es gibt nur deduktive B. Die Gültigkeit der Axiome (gewöhnlich generelle Sätze) kann dann nicht in dieser Weise gesichert werden; Axiome werden entweder bloß als gültig angenommen (Konventionalismus) oder aber gelten kraft Evidenz, speziell kraft Induktion. Das konventionalistische Verfahren ist nur dadurch begrenzt, daß das System der Axiome widerspruchsfrei (= konsistent) sein muß, weil sonst jede beliebige Aussage logisch gefolgert werden kann. Der Nachweis der Widerspruchsfreiheit axiomatischer Theorien ist die Hauptaufgabe der von D. Hilbert[4] ins Leben gerufenen B.-Theorie (Metamathematik) (s.d.).

In konstruktiven Theorien, z.B. der Arithmetik, stehen zum B. von Sätzen neben der logischen Folgerung aus schon bewiesenen Sätzen noch B.-Prinzipien zur Verfügung, die sich aus den zugrunde liegenden Konstruktionen ergeben. Die Konstruktion der Ziffern durch einen Kalkül, nämlich das Aneinanderfügen von Strichen: |, ||, |||, ..., erlaubt, das B.-Prinzip der arithmetischen – vollständigen – Induktion seinerseits ‹unmittelbar›, nämlich ohne Berufung auf Prämissen eines logischen Schlusses, zu beweisen. Ähnlich werden z.B. Ableitbarkeitsbehauptungen in beliebigen Kalkülen ‹unmittelbar› durch vorgeführte Ableitungen, also Handlungen, und nicht aufgrundvon Sätzen, bewiesen [5].

4. Eine methodisch besondere Rolle spielen die indirekten (= apagogischen) B. (ἀπαγωγὴ εἰς τὸ ἀδύνατον[6]) eines Satzes A, bei denen aus der Annahme des kontradiktorischen Gegenteils von A, also der Negation ¬A, ein Widerspruch, d.h. irgendeine falsche Aussage ⋏ (Falsum, ἀδύνατον), logisch gefolgert wird. Wenn der zu beweisende Satz A nicht selbst schon eine Negation ist, so hängt die Gültigkeit des indirekten B. von der Gültigkeit des tertium non datur A ∨ ¬A (A oder nicht-A) ab, die nicht allgemein, sondern nur für wertdefinite (entscheidbar wahre oder falsche) Aussagen gesichert ist. Den indirekten B. stehen die übrigen unproblematischen direkten (= ostensiven, δεικτικῶς) B. gegenüber. Eine weitere damit zusammenhängende Unterscheidung ist die in der arabischen Scholastik diskutierte [7] demonstratio quia (B. der Existenz) und demonstratio quare sive propter quid (B. der Essenz).

5. In der Tradition sind eine Reihe von B.-Fehlern im Anschluß an die ersten Übersichten bei Aristoteles terminologisch ausgezeichnet worden. Zu den wichtigsten gehören (a) die Erschleichung (petitio principii [8]): Ein noch unbewiesener Satz wird als Prämisse für den zu beweisenden Satz benutzt (ein Spezialfall ist der Zirkel – circulus vitiosus [9] –: der zu beweisende Satz wird, eventuell nur synonym umgeformt, als Prämisse für sich selbst benutzt), (b) die Umkehrung ( ὕστερον πρότερον[10]): Anstelle einer logischen Implikation A ≺ B für den zu beweisenden Satz B aus der Prämisse A wird die konverse Implikation B ≺ A benutzt, (c) die Verwechslung (ignoratio elenchi [11]): statt des zu beweisenden Satzes wird ein anderer, eventuell nur homonym lautender, bewiesen (ein Spezialfall ist die Übertragung – μετάβασις εἰς ἄλλο γένος[12] –: der zur These gehörige Gegenstandsbereich wird durch einen anderen ersetzt). Speziell kommen B.-Fehler beim logischen Schließen vor (Fehlschlüsse oder Paralogismen; absichtlich getan heißen sie ‹Trugschlüsse› oder ‹Sophismen›), unter denen die ‹Vervierfachung der Termini› (quaternio terminorum: der in beiden Prämissen eines Syllogismus auftretende mittlere Terminus wird in zweierlei Bedeutung gebraucht, d.h. es liegt eine Amphibolie des Mittelbegriffs vor [13]) in der Syllogistik eine bedeutende Rolle spielt.

6. Die Entdeckung der Möglichkeit von B. ist zugleich die Entdeckung der Möglichkeit von Wissenschaft: Sie geschieht mit der thaletischen Geometrie [14], und zwar vermutlich logikfrei allein mit Hilfe von Symmetriebetrachtungen (dem ἐφαρμόζειν-Verfahren) [15]. Erst unter eleatischem Einfluß wird zugleich mit den Anfängen logischen Schließens die Möglichkeit deduktiver, speziell indirekter B. in Arithmetik (Pythagoreer) [16] und Geometrie (Hippokrates von Chios) [17] entdeckt, was zum Aufbau der Geometrie als einer axiomatischen Theorie geführt hat. Seit Aristoteles ist daraufhin eine axiomatisch aufgebaute Theorie bis zum heutigen Tag der Prototyp für jede strenge, nämlich beweisende Wissenschaft ( ἀποδεικτική ἐπιστήμη, auch theoretische Philosophie oder Theoria) geworden [18]. Die Syllogismen dienen dabei als B.-Mittel zur Erlangung von Wissen (ἐπιστήμη) und taugen auch dazu, wenn sie apodeiktisch sind, d.h. wenn ihre Prämissen wahr und elementar sind oder aber wenn deren Kenntnis durch ihrerseits wahre und elementare Prämissen vermittelt ist (ἀπόδειξις μὲν οὗν ἐστίν, ὅταν ἐξ ἀληθῶν καὶ πρώτων ὁ συλλογισμὸς ᾗ, ἢ ἐκ τοιούτων, ἃ διά τινων πρώτων καὶ ἀληθῶν τῆς περὶ αὐτὰ γνώσεως τὴν ἀρχὴν εἴληφεν[19]). Der Syllogismus heißt hingegen dialektisch und dient zur Erlangung von Einsicht (φρόνησις) in der praktischen Philosophie, wenn die Prämissen vom Gegner bloß zugestanden sind. In der lateinischen Tradition bis zu Chr. Wolff bezieht sich ‹demonstratio› gewöhnlich auf apodiktische und ‹probatio› auf dialektische Syllogismen [20]. Die obersten unbeweisbaren Prämissen einer Kette apodeiktischer Syllogismen müssen über wahr und elementar hinaus unvermittelt (ἀμέσοι), einleuchtender (γνωριμώτεραι) und fundamentaler (πρότεραι) als die aus ihnen logisch gefolgerten Sätze und dazu wirklich Gründe (αἴτια) der Folgen sein [21]. Trotzdem bleiben auch diese Prinzipien (ἀρχαὶ τῆς ἀποδείξεως) nicht etwa unbegründet, nur geschieht ihr ‹B.› nicht durch logische Folgerung aus schon bewiesenen Prämissen, sondern durch Induktion (ἐπαγωγή, lat. sowohl ‹inductio› als auch ‹abstractio› [22]): B. und Induktion bilden eine vollständige Disjunktion der Methoden, zuverlässiges Wissen zu erlangen [23]. Dies wird der Ursprung der späteren Einteilung in deduktive und induktive B. sowie a fortiori in deduktive und induktive Wissenschaften [24]. Aufgrunddieser nicht hinreichend differenzierten und in der Neuzeit dazu noch mit der Unterscheidung ‹rational/empirisch› identifizierten Alternative [25] erhält die dritte Möglichkeit verläßlicher B.-Führungen, wie sie in der konstruktiven Mathematik auf elementarer Stufe sogar völlig logikfrei verwirklicht wird, nur selten (z.B. in den Überlegungen zum synthetischen Apriori – «Vernunftserkenntnis ... aus der Konstruktion der Begriffe» – bei Kant[26]) gleichen methodischen Rang. Zugleich ist mit diesem Gang der Entwicklung über die traditionell verbreitete einseitige Beschränkung der anerkannten B.-Mittel auf die logischen Schlußregeln entschieden [27].